相關係數公式

\( \dfrac{x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n}{n} = \mu_X \mu_Y + r \cdot \sigma_X \sigma_Y \)

因為：

\( r = \dfrac{ \left(\dfrac{x_1 - \mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\dfrac{y_1 - \mu_Y}{\sigma_Y}\right) + \left(\dfrac{x_2 - \mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\dfrac{y_2 - \mu_Y}{\sigma_Y}\right) + \cdots + \left(\dfrac{x_n - \mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\dfrac{y_n - \mu_Y}{\sigma_Y}\right) }{n} \)

可整理成：

\( \begin{array}{rcl} r &=& \dfrac{ (x_1 - \mu_X)(y_1 - \mu_Y) + (x_2 - \mu_X)(y_2 - \mu_Y) + \cdots + (x_n - \mu_X)(y_n - \mu_Y) }{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\ &=& \dfrac{\sum_{k=1}^n (x_k - \mu_X)(y_k - \mu_Y)}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\ &=& \dfrac{\sum_{k=1}^n (x_k y_k - \mu_X y_k - \mu_Y x_k + \mu_X \mu_Y)}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\ &=& \dfrac{\sum_{k=1}^n x_k y_k - \mu_X \sum_{k=1}^n y_k - \mu_Y \sum_{k=1}^n x_k + n \cdot \mu_X \mu_Y}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\ &=& \dfrac{\sum_{k=1}^n x_k y_k - \mu_X \cdot n \cdot \mu_Y - \mu_Y \cdot n \cdot \mu_X + n \cdot \mu_X \mu_Y}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\ &=& \dfrac{\sum_{k=1}^n x_k y_k - n \cdot \mu_X \mu_Y}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\ \end{array} \)

將分子的 \( \sigma_X \sigma_Y \) 乘到左邊可得：

\( r \cdot \sigma_X \sigma_Y = \dfrac{\sum_{k=1}^n x_k y_k}{n} - \mu_X \mu_Y \)

最後將 \( \mu_X \mu_Y \) 移到左邊即可得：

\( \dfrac{x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n}{n} = \mu_X \mu_Y + r \cdot \sigma_X \sigma_Y \)

---

⭐️ 注意：下面的公式可以視為 Y = X 時的特例（此時，相關係數 r = 1）：

\( \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} = \mu^2 + \sigma^2 \)

標準差公式：E(X²) = E(X)² + Var(X)

\( \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} = \mu^2 + \sigma^2 \)

因為：

\( \sigma = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \mu)^2 + (x_2 - \mu)^2 + \cdots + (x_n - \mu)^2}{n}} \)

兩邊平方：

\( \sigma^2 = \dfrac{(x_1 - \mu)^2 + (x_2 - \mu)^2 + \cdots + (x_n - \mu)^2}{n} \)

整理後可得：

\( \sigma^2 = \dfrac{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) - 2\mu (x_1 + x_2 + \cdots + x_n) + n \mu^2}{n} \) ········ 1︎⃣

因為：

\( \mu = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \)

所以：

\( x_1 + x_2 + \cdots + x_n = n \mu \)

代回第 1︎⃣ 式，可得：

\( \begin{array}{rcl} \sigma^2 &=& \dfrac{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) - 2\mu (n \mu) + n \mu^2}{n} \\ & =& \dfrac{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) - n \mu^2}{n} \\ & =& \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} - \mu^2 \end{array} \)

最後，將 \( \mu^2 \) 移項到左邊即可得：

\( \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} = \mu^2 + \sigma^2 \)

因為：

\( \begin{array}{rcl} E(X^2) &=& \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} \\ E(X) &=& \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \\ Var(X) &=& \sigma^2 \end{array} \)

所以，這個數學式又可寫成：

\( E(X^2) = E(X)^2 + Var(X) \)

垂心公式

假設 H 為 △ABC 的垂心，則：

\( \begin{array}{rcl} H &=& \dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{16\Delta^2}\cdot A \\ & + & \dfrac{(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)}{16\Delta^2} \cdot B \\ & + & \dfrac{(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)}{16\Delta^2} \cdot C \end{array} \)

其中：

\( \Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ s = \dfrac{a+b+c}{2} \)

外心公式

假設 O 為 △ABC 的外心，則：

\( O=\dfrac{a^2(b^2+c^2-a^2)}{16\Delta^2}\cdot A + \dfrac{b^2(c^2+a^2-b^2)}{16\Delta^2} \cdot B + \dfrac{c^2(a^2+b^2-c^2)}{16\Delta^2} \cdot C \)

其中：

\( \Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ s = \dfrac{a+b+c}{2} \)