二項分布的平均值與標準差

若隨機變數 \(X\sim B(n,p)\)，則：

\(\mu=E[X]=np\)

\(\sigma^2=Var[X]=npq\)

其中 \(q=1-p\)

假設 \(X=X_1+X_2+\cdots+X_n\)，其中 \(X_k\) 為「作一次試驗成功的次數」，所以不是 0 就是 1。

\(E[X_k]=0\cdot q+1\cdot p=p\)

\(E[X_k^2]=0^2\cdot q+1^2\cdot p=p\)

\(Var[X_k]=E[X_k^2]-E[X_k]^2=p-p^2=p(1-p)=pq\)

因為 \(X_1,X_2,\cdots ,X_n\) 彼此為「獨立事件」，所以：

\(E[X]=E[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n\cdot E[X_1]=np\)

\(Var[X]=Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=nVar[X_1]=npq \)

測試數學式

$$ \begin{cases} x^2& \text{ ,if } 2\leq x\leq 3 \\ 2x-3& \text{ ,if } x= 4 \end{cases} $$ $$ \begin{array}{rcl} E[X+Y]&=&\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^n (x_i+y_j)\cdot p_i q_j\\ \\ &=&\sum_{i=1}^{m}\left[p_i \cdot\sum_{j=1}^n (x_i \cdot q_j+y_j\cdot q_j)\right]\\ \\ &=&\sum_{i=1}^{m}\left[x_i p_i\cdot\sum_{j=1}^n q_j+p_i \sum_{j=1}^n y_j q_j\right]\\ \\ &=&\sum_{i=1}^{m}\left[x_i p_i\cdot 1+p_i \cdot E[Y]\right]\\ \\ &=&\sum_{i=1}^{m} x_i p_i+E[Y]\cdot\sum_{i=1}^{m} p_i \\ \\ &=&E[X]+E[Y] \end{array} $$