\(\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{8\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{16\pi}{17}\right)=?\)
假設：
為了讓後面的計算更簡潔易懂，我們進一步假設：
其中：
⭐️ 註：
- \(\theta = \frac{2\pi}{17}\)
- \(\omega = \cos\theta + i\sin\theta \)
- \( \omega^{17}=1 \)
- \( 1+\omega + \omega^2 + \omega^3 + \cdots + \omega^{16} = 0 \)
為了讓後面的計算更簡潔易懂，我們進一步假設：
- \( c_k = \omega^k + \omega^{-k} = 2\cos(k\theta) \)
- \( x_1 = c_1 + c_2 + c_4 + c_8 \)
- \( x_2 = c_3 + c_5 + c_6 + c_7 \)
其中：
\(
\begin{array}{rcl}
x_1 &=& c_1 + c_2 + c_4 + c_8 \\
&=& (\omega + \omega^{-1}) + (\omega^2 + \omega^{-2}) + (\omega^4 + \omega^{-4}) + (\omega^8 + \omega^{-8}) \\
&=& 2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{8\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{16\pi}{17}\right)\right) \\
\end{array}
\)
\(
\begin{array}{rcl}
x_2 &=& c_3 + c_5 + c_6 + c_7 \\
&=& (\omega^3 + \omega^{-3}) + (\omega^5 + \omega^{-5}) + (\omega^6 + \omega^{-6}) + (\omega^7 + \omega^{-7}) \\
&=& 2\left(\cos\left(\frac{6\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{10\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{12\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{14\pi}{17}\right)\right) \\
\end{array}
\)
解題策略
如果我們可以算出 \(x_1\)，那麼原來的問題就解決了。所以這裡先說明，下面打算用什麼方法算出 \(x_1\)。
下面我們會先算出兩個主要的結果：
- \( x_1 + x_2 = -1 \)
- \( x_1 x_2 = -4 \)
然後將 \(x_1\)、 \(x_2\) 當做是方程式：
\( x^2 + x -4 = 0 \)
的兩根，這時就可以順利導出：
\(
\left\{\begin{array}{c}
x_1 = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\
x_2 = \frac{-1-\sqrt{17}}{2}
\end{array}
\right.
\)
（註：由上面的圖可知 \(x_1\) 向右的向量較多，所以是正的；反之， \(x_2\) 是負的）因此，我們就可以得到本問題的答案：
\(
\begin{array}{rcl}
\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{8\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{16\pi}{17}\right)
&=& \frac{x_1}{2} \\
&=& \frac{-1+\sqrt{17}}{4}
\end{array}
\)
進行計算
下面開始進行主要的計算：
因為：
\( 1+\omega + \omega^2 + \omega^3 + \cdots + \omega^{16} = 0 \)
所以：
\(
\begin{array}{rcl}
x_1 + x_2 &=& (c_1 + c_2 + c_4 + c_8) + (c_3 + c_5 + c_6 + c_7) \\
&=& \omega + \omega^2 + \omega^3 + \cdots + \omega^{16} \\
&=& -1
\end{array}
\)
最後計算 \(x_1 x_2\)：
\(
x_1 x_2 = (c_1 + c_2 + c_4 + c_8) (c_3 + c_5 + c_6 + c_7)
\)
由於這一項比較複雜，所以在乘開之前，我們先開發一個簡便的公式：
\(
\begin{array}{rcl}
c_m c_n &=& (\omega^m + \omega^{-m}) (\omega^n + \omega^{-n}) \\
&=& (\omega^{m+n} + \omega^{-(m+n)}) + (\omega^{m-n} + \omega^{-(m-n)}) \\
&=& c_{m+n} + c_{m-n}
\end{array}
\)
有了這個公式後，要計算 \(x_1 x_2\) 就比較方便了，例如：
\(c_1 c_3 = c_4 + c_2\)
因此，我們可以利用下表將 \(x_1 x_2\) 乘開：
| \(x_1 x_2\) | \(c_3\) | \(c_5\) | \(c_6\) | \(c_7\) |
| \(c_1\) | \(c_4 + c_2\) | \(c_6 + c_4\) | \(c_7 + c_5\) | \(c_8 + c_6\) |
| \(c_2\) | \(c_5 + c_1\) | \(c_7 + c_3\) | \(c_8 + c_4\) | *\(c_8 + c_5\) |
| \(c_4\) | \(c_7 + c_1\) | \(c_8 + c_1\) | \(c_7 + c_2\) | \(c_6 + c_3\) |
| \(c_8\) | \(c_6 + c_5\) | \(c_4 + c_3\) | \(c_3 + c_2\) | \(c_2 + c_1\) |
\(c_2 c_7 = c_9 + c_5\)
但：
\(c_9 = \omega^9+\omega^{-9}= \omega^{-8}+\omega^{8} = c_8 \)
（注意：表中還有其他地方也有類似的轉換）
上表最特別的地方是：乘開後 \(c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, c_6, c_7, c_8 \) 全部都剛好「出現四次」，也就是：
（注意：表中還有其他地方也有類似的轉換）
\(x_1 x_2 = 4(c_1 + c_2 + c_3 + \cdots + c_8) = 4(x_1 + x_2) = -4\)
因此，我們已經完成所有的計算。