圓內接四邊形 ABCD ...，求 sinθ=?

已知：

• ABCD 為圓內接四邊形。
• AB 為直徑。
• 三角形 PCD 與四邊形 ABCD 的面積比為 1:8

求： \(\sin\theta=?\)

首先，因為 ABCD 為圓內接四邊形，因此：
∠1 與 ∠2 互補，但 ∠2 與 ∠3 也互補，所以：

∠1 = ∠3

同理，∠4 = ∠5，因此：

ΔPCD 與 ΔPAB 相似

再來，由於 ΔPCD 與四邊形 ABCD 的面積比為 1:8，所以 ΔPCD 與 ΔPAB 的面積比為 1:9，但我們知道「相似形面積比=邊長的平方比」，所以：

\(\dfrac{\overline{PD}}{\overline{PB}}=\dfrac{1}{3}\)

又因為 AB 為直徑，所以：∠ADB 為直角，因此上面的線段比其實就是 \(\cos\theta\)，所以：

\(\sin\theta=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)

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動態附檔（可拖曳圖中的 D 點）

三角關係

log(abc,X)

知：\(\log_a X=3\)、\(\log_b X=8\)、\(\log_c X=24\)

求：\(\log_{abc} X=?\)

因為 \(\log_a X=3\) ，所以 \(X=a^3\)，因此：\(X^{\frac{1}{3}}=a\)

同樣道理：

\(\log _{ b } X=8\quad \Rightarrow \quad X=b^{ 8 }\quad \Rightarrow \quad { X }^{ \frac { 1 }{ 8 }  }=b\)

\(\log _{ c } X=24\quad \Rightarrow \quad X=c^{ 24 }\quad \Rightarrow \quad { X }^{ \frac { 1 }{ 24 }  }=c\)

因此：

\( \begin{array}
 abc & = &X^{ \frac { 1 }{ 3 }  }X^{ \frac { 1 }{ 8 }  }X^{ \frac { 1 }{ 24 }  }  \\
& = &X^{ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 8 } +\frac { 1 }{ 24 }  }\\
&=&X^{ \frac { 8+3+1 }{ 24 }  }\\&=&X^{ \frac { 12 }{ 24 }  }\\
&=&X^{ \frac { 1 }{ 2 }  }
\end{array} \)

所以 \(X=(abc)^2\)，也就是 \(\log_{abc} X=2\)

答：2

另一個更簡潔的解法如下：

由已知條件可知：

\(\log_X a=\frac{1}{3} \\ \log_X b=\frac{1}{8} \\ \log_X c=\frac{1}{24}\)

因此：

\(\log_X abc=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}=\frac { 1 }{ 2 }\)

所以：

\(\log_{abc} X=2\)