假設聯立方程組：
的圖形為三平面兩兩相交於一線、三線平行，
則：
且 至少有一個不是零
我們可以利用「平面族」的觀念，將第三個平面方程式假設為：
因此可以假設：
（其中 ）
因此（ ③ - ① - t×② ）：
利用類似的作法（ ③ - ① - t×② ），可得：
因此：
其中：
因為 ，所以必有至少一個不是零，得證。
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2017年4月14日
2015年12月2日
兩組資料組合而成的平均數與標準差
假設：
若將兩組資料合併為同一組，設新的平均數為 \(\mu\)，標準差為 \(\sigma\)，則：
其中，\(p=\dfrac{m}{m+n}\)、\(q=\dfrac{n}{m+n}\)
\(
\begin{array}{rcl}
X &=& \left\{ x_1, x_2, \cdots, x_m \right\} \\
Y &=& \left\{ y_1, y_2, \cdots, y_n \right\}
\end{array}
\)
為兩組不同的數據，它們的平均數與標準差分別為 \(\mu_x\)、\(\sigma_x\) 與 \(\mu_y\)、\(\sigma_y\)。若將兩組資料合併為同一組，設新的平均數為 \(\mu\)，標準差為 \(\sigma\)，則：
- \( \mu = p\mu_x + q \mu_y \)
-
\(
\sigma^2 = p \sigma_x^2 + q\sigma_y^2 + pq(\mu_x - \mu_y)^2
\)
其中，\(p=\dfrac{m}{m+n}\)、\(q=\dfrac{n}{m+n}\)
因為：
另外，由「標準差公式」一文可知：
將 (1), (2), (3) 式代入 (4) 式，可得：
\(
\dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_m}{m} = \mu_x \;\;\;
\)
\(
\dfrac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n} = \mu_y \;\;\;
\)
所以：
\(
\begin{array}{rcl}
\mu &=& \dfrac{(x_1 + x_2 + \cdots + x_m) + (y_1 + y_2 + \cdots + y_n)}{m+n} \\
&=& \dfrac{m \mu_x + n \mu_y}{m+n} \\
&=& p \mu_x + q \mu_y \;\;\; ········· (1)
\end{array}
\)
另外，由「標準差公式」一文可知：
\(
\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_m^2}{m} = \mu_x^2 + \sigma_x^2 \;\;\;
\) ········· (2)
\(
\dfrac{y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2}{n} = \mu_y^2 + \sigma_y^2 \;\;\;
\) ········· (3)
\(
\dfrac{(x_1^2 + \cdots + x_m^2) + (y_1^2 + \cdots + y_n^2)}{m+n} = \mu^2 + \sigma^2 \;\;\;
\) ········· (4)
將 (1), (2), (3) 式代入 (4) 式，可得：
\(
\begin{array}{rcl}
\dfrac{m(\mu_x^2 + \sigma_x^2) + n(\mu_y^2 + \sigma_y^2)}{m+n} &=& (p \mu_x + q \mu_y)^2 + \sigma^2 \\
\\
p(\mu_x^2 + \sigma_x^2) + q(\mu_y^2 + \sigma_y^2) &=& (p \mu_x + q \mu_y)^2 + \sigma^2
\end{array}
\)
因此：
\(
\begin{array}{rcl}
\sigma^2 &=& p(\mu_x^2 + \sigma_x^2) + q(\mu_y^2 + \sigma_y^2) - (p \mu_x + q \mu_y)^2 \\
&=& p \sigma_x^2 + q \sigma_y^2 + (p-p^2)\mu_x^2 - 2pq \mu_x \mu_y + (q-q^2)\mu_y^2 \\
&=& p \sigma_x^2 + q \sigma_y^2 + p(1-p)\mu_x^2 - 2pq \mu_x \mu_y + q(1-q)\mu_y^2 \\
&=& p \sigma_x^2 + q \sigma_y^2 + pq(\mu_x^2 - 2 \mu_x \mu_y + \mu_y^2) \\
&=& p \sigma_x^2 + q \sigma_y^2 + pq(\mu_x - \mu_y)^2
\end{array}
\)
2015年11月14日
相關係數公式
\(
\dfrac{x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n}{n} = \mu_X \mu_Y + r \cdot \sigma_X \sigma_Y
\)
因為：
⭐️ 注意：下面的公式可以視為 Y = X 時的特例（此時，相關係數 r = 1）：
\(
r = \dfrac{
\left(\dfrac{x_1 - \mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\dfrac{y_1 - \mu_Y}{\sigma_Y}\right) +
\left(\dfrac{x_2 - \mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\dfrac{y_2 - \mu_Y}{\sigma_Y}\right) + \cdots +
\left(\dfrac{x_n - \mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\dfrac{y_n - \mu_Y}{\sigma_Y}\right)
}{n}
\)
可整理成：
\(
\begin{array}{rcl}
r &=& \dfrac{
(x_1 - \mu_X)(y_1 - \mu_Y) +
(x_2 - \mu_X)(y_2 - \mu_Y) + \cdots +
(x_n - \mu_X)(y_n - \mu_Y)
}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\
&=& \dfrac{\sum_{k=1}^n (x_k - \mu_X)(y_k - \mu_Y)}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\
&=& \dfrac{\sum_{k=1}^n (x_k y_k - \mu_X y_k - \mu_Y x_k + \mu_X \mu_Y)}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\
&=& \dfrac{\sum_{k=1}^n x_k y_k - \mu_X \sum_{k=1}^n y_k - \mu_Y \sum_{k=1}^n x_k + n \cdot \mu_X \mu_Y}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\
&=& \dfrac{\sum_{k=1}^n x_k y_k - \mu_X \cdot n \cdot \mu_Y - \mu_Y \cdot n \cdot \mu_X + n \cdot \mu_X \mu_Y}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\
&=& \dfrac{\sum_{k=1}^n x_k y_k - n \cdot \mu_X \mu_Y}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\
\end{array}
\)
將分子的 \( \sigma_X \sigma_Y \) 乘到左邊可得：
\(
r \cdot \sigma_X \sigma_Y = \dfrac{\sum_{k=1}^n x_k y_k}{n} - \mu_X \mu_Y
\)
最後將 \( \mu_X \mu_Y \) 移到左邊即可得：
\(
\dfrac{x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n}{n} = \mu_X \mu_Y + r \cdot \sigma_X \sigma_Y
\)
⭐️ 注意：下面的公式可以視為 Y = X 時的特例（此時，相關係數 r = 1）：
\(
\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} = \mu^2 + \sigma^2
\)
2015年11月13日
標準差公式：E(X²) = E(X)² + Var(X)
\(
\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} = \mu^2 + \sigma^2
\)
因為：
\(
\sigma = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \mu)^2 + (x_2 - \mu)^2 + \cdots + (x_n - \mu)^2}{n}}
\)
兩邊平方：
\(
\sigma^2 = \dfrac{(x_1 - \mu)^2 + (x_2 - \mu)^2 + \cdots + (x_n - \mu)^2}{n}
\)
整理後可得：
\(
\sigma^2 = \dfrac{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) - 2\mu (x_1 + x_2 + \cdots + x_n) + n \mu^2}{n}
\) ········ 1︎⃣
因為：
\(
\mu = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
\)
所以：
\(
x_1 + x_2 + \cdots + x_n = n \mu
\)
代回第 1︎⃣ 式，可得：
\(
\begin{array}{rcl}
\sigma^2 &=& \dfrac{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) - 2\mu (n \mu) + n \mu^2}{n} \\
& =& \dfrac{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) - n \mu^2}{n} \\
& =& \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} - \mu^2
\end{array}
\)
最後，將 \( \mu^2 \) 移項到左邊即可得：
\(
\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} = \mu^2 + \sigma^2
\)
因為：
\(
\begin{array}{rcl}
E(X^2) &=& \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} \\
E(X) &=& \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \\
Var(X) &=& \sigma^2
\end{array}
\)
所以，這個數學式又可寫成：
\(
E(X^2) = E(X)^2 + Var(X)
\)
2015年11月5日
垂心公式
假設 H 為 △ABC 的垂心，則：
\(
\begin{array}{rcl}
H &=& \dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{16\Delta^2}\cdot A \\
& + & \dfrac{(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)}{16\Delta^2} \cdot B \\
& + & \dfrac{(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)}{16\Delta^2} \cdot C
\end{array}
\)
其中：
\(
\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
s = \dfrac{a+b+c}{2}
\)
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