log(abc,X)

知：\(\log_a X=3\)、\(\log_b X=8\)、\(\log_c X=24\)

求：\(\log_{abc} X=?\)

因為 \(\log_a X=3\) ，所以 \(X=a^3\)，因此：\(X^{\frac{1}{3}}=a\)

同樣道理：

\(\log _{ b } X=8\quad \Rightarrow \quad X=b^{ 8 }\quad \Rightarrow \quad { X }^{ \frac { 1 }{ 8 }  }=b\)

\(\log _{ c } X=24\quad \Rightarrow \quad X=c^{ 24 }\quad \Rightarrow \quad { X }^{ \frac { 1 }{ 24 }  }=c\)

因此：

\( \begin{array}
 abc & = &X^{ \frac { 1 }{ 3 }  }X^{ \frac { 1 }{ 8 }  }X^{ \frac { 1 }{ 24 }  }  \\
& = &X^{ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 8 } +\frac { 1 }{ 24 }  }\\
&=&X^{ \frac { 8+3+1 }{ 24 }  }\\&=&X^{ \frac { 12 }{ 24 }  }\\
&=&X^{ \frac { 1 }{ 2 }  }
\end{array} \)

所以 \(X=(abc)^2\)，也就是 \(\log_{abc} X=2\)

答：2

另一個更簡潔的解法如下：

由已知條件可知：

\(\log_X a=\frac{1}{3} \\ \log_X b=\frac{1}{8} \\ \log_X c=\frac{1}{24}\)

因此：

\(\log_X abc=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}=\frac { 1 }{ 2 }\)

所以：

\(\log_{abc} X=2\)