向量的分解

空間中的向量如何分解成兩個相互垂直的向量？

如圖，空間中的 \(\overrightarrow{b}\) 向量可以分解為沿著 \(\overrightarrow{a}\) 的 \(\overrightarrow{p}\) 向量與和 \(\overrightarrow{a}\) 垂直的 \(\overrightarrow{q}\) 向量：

\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}\)

其中：

\( \begin{array}{rcl}
\overrightarrow{p}&=&\left(\overrightarrow{b}\cdot\dfrac{\overrightarrow{a}}{\vert\overrightarrow{a}\vert}\right)\dfrac{\overrightarrow{a}}{\vert\overrightarrow{a}\vert}\\
&=&\left(\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}\right)\overrightarrow{a}
\end{array} \)

假設 \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\)，則：

\( \begin{array}{rcl} \overrightarrow { n } \times \overrightarrow { a }  & = & \left( \overrightarrow { a } \times \overrightarrow { b }\right) \times \overrightarrow { a }  \\  & = & \begin{vmatrix} \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { a }  & \overrightarrow { b } \cdot \overrightarrow { a }  \\ \overrightarrow { a }  & \overrightarrow { b }  \end{vmatrix} \\  & = & \left( \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { a }\right) \overrightarrow { b } -\left( \overrightarrow { b } \cdot \overrightarrow { a }\right) \overrightarrow { a }  \\  & = & \left| \overrightarrow { a }  \right| ^{ 2 }\left[ \overrightarrow { b } -\left( \dfrac { \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b }  }{ \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { a }  }\right) \overrightarrow { a }\right]  \\ &=&\left| \overrightarrow{a}\right|^{2}\left[\overrightarrow{b}-\overrightarrow{p}\right]\\  & = & \left| \overrightarrow { a }\right| ^{ 2 }\overrightarrow { q }  \end{array} \)

因此：

\( \overrightarrow{q} = \left( \dfrac{\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}\right) \times \overrightarrow{a} \)