cos(α+β+γ)=cosα+cosβ+cosγ

已知：

1. \(\cos (\alpha+\beta+\gamma)=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\)
2. \(\sin (\alpha+\beta+\gamma)=\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\)

求：

1. \(\cos (\alpha+\beta)+\cos (\beta+\gamma)+\cos (\gamma+\alpha)\)
2. \(\sin (\alpha+\beta)+\sin (\beta+\gamma)+\sin (\gamma+\alpha)\)
3. \(\cos (\alpha-\beta)+\cos (\beta-\gamma)+\cos (\gamma-\alpha)\)

假設：

\(x=\cos\alpha+i\sin\alpha\)
\(y=\cos\beta+i\sin\beta\)
\(z=\cos\gamma+i\sin\gamma\)

則：

\(|x|^2=x\overline{x}=1\)
\(|y|^2=y\overline{y}=1\)
\(|z|^2=x\overline{z}=1\)

\(xyz=\cos (\alpha+\beta+\gamma)+i\sin (\alpha+\beta+\gamma)\)
\(x+y+z=(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)+i(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)\)

因此，已知條件可改為：

\(xyz=x+y+z\)

題目所求的問題，相當於要算出：

\(xy+yz+zx=?\)

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\) 的「實數部分」= ?

首先，因為：

\(xyz=x+y+z\)

所以：

\(1=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}+\dfrac{1}{xy}\)

又因為：

\(\dfrac{1}{x}=\overline{x}\)、\(\dfrac{1}{y}=\overline{y}\)、\(\dfrac{1}{z}=\overline{z}\)

所以：

\(1=\overline{yz}+\overline{zx}+\overline{xy}\)

兩邊取共軛複數，可得：

\(1=yz+zx+xy\)

因此：

\(\cos (\alpha+\beta)+\cos (\beta+\gamma)+\cos (\gamma+\alpha)=1\)
\(\sin (\alpha+\beta)+\sin (\beta+\gamma)+\sin (\gamma+\alpha)=0\)

又因為：

\(xyz=x+y+z\)

兩邊取共軛複數，可得：

\(\overline{xyz}=\overline{x}+\overline{y}+\overline{z}\)

\(\dfrac{1}{xyz}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)

\(\dfrac{1}{x+y+z}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)

\(1=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)(x+y+z)\)

\(1=3+\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)+\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}\right)\)

其中：

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}=\left[\cos (\alpha-\beta)+\cos (\beta-\gamma)+\cos (\gamma-\alpha)\right]+i\left[\sin (\alpha-\beta)+\sin (\beta-\gamma)+\sin (\gamma-\alpha)\right]\)

\(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}=\left[\cos (\alpha-\beta)+\cos (\beta-\gamma)+\cos (\gamma-\alpha)\right]-i\left[\sin (\alpha-\beta)+\sin (\beta-\gamma)+\sin (\gamma-\alpha)\right]\)

因此：

\(1=3+2\left[\cos (\alpha-\beta)+\cos (\beta-\gamma)+\cos (\gamma-\alpha)\right]\)

所以：

\(\cos (\alpha-\beta)+\cos (\beta-\gamma)+\cos (\gamma-\alpha)=-1\)