兩組資料組合而成的平均數與標準差

假設：

\( \begin{array}{rcl} X &=& \left\{ x_1, x_2, \cdots, x_m \right\} \\ Y &=& \left\{ y_1, y_2, \cdots, y_n \right\} \end{array} \)

為兩組不同的數據，它們的平均數與標準差分別為 \(\mu_x\)、\(\sigma_x\) 與 \(\mu_y\)、\(\sigma_y\)。

若將兩組資料合併為同一組，設新的平均數為 \(\mu\)，標準差為 \(\sigma\)，則：

• \( \mu = p\mu_x + q \mu_y \)
• \( \sigma^2 = p \sigma_x^2 + q\sigma_y^2 + pq(\mu_x - \mu_y)^2 \)
  

其中，\(p=\dfrac{m}{m+n}\)、\(q=\dfrac{n}{m+n}\)

因為：

\( \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_m}{m} = \mu_x \;\;\; \)

\( \dfrac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n} = \mu_y \;\;\; \)

所以：

\( \begin{array}{rcl} \mu &=& \dfrac{(x_1 + x_2 + \cdots + x_m) + (y_1 + y_2 + \cdots + y_n)}{m+n} \\ &=& \dfrac{m \mu_x + n \mu_y}{m+n} \\ &=& p \mu_x + q \mu_y \;\;\; ········· (1) \end{array} \)

另外，由「標準差公式」一文可知：

\( \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_m^2}{m} = \mu_x^2 + \sigma_x^2 \;\;\; \) ········· (2)

\( \dfrac{y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2}{n} = \mu_y^2 + \sigma_y^2 \;\;\; \) ········· (3)

\( \dfrac{(x_1^2 + \cdots + x_m^2) + (y_1^2 + \cdots + y_n^2)}{m+n} = \mu^2 + \sigma^2 \;\;\; \) ········· (4)

將 (1), (2), (3) 式代入 (4) 式，可得：

\( \begin{array}{rcl} \dfrac{m(\mu_x^2 + \sigma_x^2) + n(\mu_y^2 + \sigma_y^2)}{m+n} &=& (p \mu_x + q \mu_y)^2 + \sigma^2 \\ \\ p(\mu_x^2 + \sigma_x^2) + q(\mu_y^2 + \sigma_y^2) &=& (p \mu_x + q \mu_y)^2 + \sigma^2 \end{array} \)

因此：

\( \begin{array}{rcl} \sigma^2 &=& p(\mu_x^2 + \sigma_x^2) + q(\mu_y^2 + \sigma_y^2) - (p \mu_x + q \mu_y)^2 \\ &=& p \sigma_x^2 + q \sigma_y^2 + (p-p^2)\mu_x^2 - 2pq \mu_x \mu_y + (q-q^2)\mu_y^2 \\ &=& p \sigma_x^2 + q \sigma_y^2 + p(1-p)\mu_x^2 - 2pq \mu_x \mu_y + q(1-q)\mu_y^2 \\ &=& p \sigma_x^2 + q \sigma_y^2 + pq(\mu_x^2 - 2 \mu_x \mu_y + \mu_y^2) \\ &=& p \sigma_x^2 + q \sigma_y^2 + pq(\mu_x - \mu_y)^2 \end{array} \)