歪斜線公垂線段兩端點的座標

歪斜線公垂線段兩端點的座標可以寫成：

$P = A + \dfrac{(\vec{c}\times\vec{b})\cdot \vec{n}}{\|\vec{n}\|^2} \;\vec{a}$

$Q = B + \dfrac{(\vec{c}\times\vec{a})\cdot \vec{n}}{\|\vec{n}\|^2}\; \vec{b}$

其中：

$\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}$
$\vec{c}=\overrightarrow{AB}$

假設：

$P = A + s \; \vec{a}$
$Q = B + t \; \vec{b}$
$\overrightarrow{PQ} =Q-P= \vec{c} + t \; \vec{b} - s \; \vec{a}$

因為 $\overrightarrow{PQ}$ 同時垂直於 $\vec{a}, \vec{b}$，所以：

$\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{a} + t \; \vec{b} \cdot \vec{a} - s \; \vec{a} \cdot \vec{a} = 0$
$\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{b} + t \; \vec{b} \cdot \vec{b} - s \; \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

因此：

$s \;( \vec{a} \cdot \vec{a} ) - t \; (\vec{b} \cdot \vec{a}) = \vec{c} \cdot \vec{a}$
$s \; (\vec{a} \cdot \vec{b}) - t \; (\vec{b} \cdot \vec{b}) =\vec{c} \cdot \vec{b}$

根據克拉瑪公式 (Cramer’s Rule)、與向量四重積：

$s = \dfrac{\begin{vmatrix} \vec{c} \cdot \vec{a} & -\vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{c} \cdot \vec{b} & - \vec{b} \cdot \vec{b} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & -\vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & - \vec{b} \cdot \vec{b} \end{vmatrix}} = \dfrac{\begin{vmatrix} \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{b} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{b} \end{vmatrix}} = \dfrac{(\vec{c}\times\vec{b})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})}{(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})} = \dfrac{(\vec{c}\times\vec{b})\cdot \vec{n}}{\|\vec{n}\|^2}$

$t = \dfrac{\begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{a} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{b} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & -\vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & - \vec{b} \cdot \vec{b} \end{vmatrix}} = \dfrac{\begin{vmatrix} \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{a} \\ \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{b} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{b} \end{vmatrix}} = \dfrac{(\vec{c}\times\vec{a})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})}{(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})} = \dfrac{(\vec{c}\times\vec{a})\cdot \vec{n}}{\|\vec{n}\|^2}$

得證。