\(
\dfrac{x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n}{n} = \mu_X \mu_Y + r \cdot \sigma_X \sigma_Y
\)
因為：
⭐️ 注意：下面的公式可以視為 Y = X 時的特例（此時，相關係數 r = 1）：
\(
r = \dfrac{
\left(\dfrac{x_1 - \mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\dfrac{y_1 - \mu_Y}{\sigma_Y}\right) +
\left(\dfrac{x_2 - \mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\dfrac{y_2 - \mu_Y}{\sigma_Y}\right) + \cdots +
\left(\dfrac{x_n - \mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\dfrac{y_n - \mu_Y}{\sigma_Y}\right)
}{n}
\)
可整理成：
\(
\begin{array}{rcl}
r &=& \dfrac{
(x_1 - \mu_X)(y_1 - \mu_Y) +
(x_2 - \mu_X)(y_2 - \mu_Y) + \cdots +
(x_n - \mu_X)(y_n - \mu_Y)
}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\
&=& \dfrac{\sum_{k=1}^n (x_k - \mu_X)(y_k - \mu_Y)}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\
&=& \dfrac{\sum_{k=1}^n (x_k y_k - \mu_X y_k - \mu_Y x_k + \mu_X \mu_Y)}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\
&=& \dfrac{\sum_{k=1}^n x_k y_k - \mu_X \sum_{k=1}^n y_k - \mu_Y \sum_{k=1}^n x_k + n \cdot \mu_X \mu_Y}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\
&=& \dfrac{\sum_{k=1}^n x_k y_k - \mu_X \cdot n \cdot \mu_Y - \mu_Y \cdot n \cdot \mu_X + n \cdot \mu_X \mu_Y}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\
&=& \dfrac{\sum_{k=1}^n x_k y_k - n \cdot \mu_X \mu_Y}{n \cdot \sigma_X \sigma_Y} \\
\end{array}
\)
將分子的 \( \sigma_X \sigma_Y \) 乘到左邊可得：
\(
r \cdot \sigma_X \sigma_Y = \dfrac{\sum_{k=1}^n x_k y_k}{n} - \mu_X \mu_Y
\)
最後將 \( \mu_X \mu_Y \) 移到左邊即可得：
\(
\dfrac{x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n}{n} = \mu_X \mu_Y + r \cdot \sigma_X \sigma_Y
\)
⭐️ 注意：下面的公式可以視為 Y = X 時的特例（此時，相關係數 r = 1）：
\(
\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} = \mu^2 + \sigma^2
\)
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