\(
\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} = \mu^2 + \sigma^2
\)
因為：
\(
\sigma = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \mu)^2 + (x_2 - \mu)^2 + \cdots + (x_n - \mu)^2}{n}}
\)
兩邊平方：
\(
\sigma^2 = \dfrac{(x_1 - \mu)^2 + (x_2 - \mu)^2 + \cdots + (x_n - \mu)^2}{n}
\)
整理後可得：
\(
\sigma^2 = \dfrac{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) - 2\mu (x_1 + x_2 + \cdots + x_n) + n \mu^2}{n}
\) ········ 1︎⃣
因為：
\(
\mu = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
\)
所以：
\(
x_1 + x_2 + \cdots + x_n = n \mu
\)
代回第 1︎⃣ 式，可得：
\(
\begin{array}{rcl}
\sigma^2 &=& \dfrac{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) - 2\mu (n \mu) + n \mu^2}{n} \\
& =& \dfrac{(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) - n \mu^2}{n} \\
& =& \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} - \mu^2
\end{array}
\)
最後，將 \( \mu^2 \) 移項到左邊即可得：
\(
\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} = \mu^2 + \sigma^2
\)
因為：
\(
\begin{array}{rcl}
E(X^2) &=& \dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} \\
E(X) &=& \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \\
Var(X) &=& \sigma^2
\end{array}
\)
所以，這個數學式又可寫成：
\(
E(X^2) = E(X)^2 + Var(X)
\)
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