cos(2π/17) + cos(4π/17) + cos(8π/17) + cos(16π/17) = ?

\(\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{8\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{16\pi}{17}\right)=?\)

假設：

• \(\theta = \frac{2\pi}{17}\)
• \(\omega = \cos\theta + i\sin\theta \)

則：

• \( \omega^{17}=1 \)
• \( 1+\omega + \omega^2 + \omega^3 + \cdots + \omega^{16} = 0 \)

為了讓後面的計算更簡潔易懂，我們進一步假設：

• \( c_k = \omega^k + \omega^{-k} = 2\cos(k\theta) \)
• \( x_1 = c_1 + c_2 + c_4 + c_8 \)
• \( x_2 = c_3 + c_5 + c_6 + c_7 \)

其中：

\( \begin{array}{rcl} x_1 &=& c_1 + c_2 + c_4 + c_8 \\ &=& (\omega + \omega^{-1}) + (\omega^2 + \omega^{-2}) + (\omega^4 + \omega^{-4}) + (\omega^8 + \omega^{-8}) \\ &=& 2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{8\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{16\pi}{17}\right)\right) \\ \end{array} \)

\( \begin{array}{rcl} x_2 &=& c_3 + c_5 + c_6 + c_7 \\ &=& (\omega^3 + \omega^{-3}) + (\omega^5 + \omega^{-5}) + (\omega^6 + \omega^{-6}) + (\omega^7 + \omega^{-7}) \\ &=& 2\left(\cos\left(\frac{6\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{10\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{12\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{14\pi}{17}\right)\right) \\ \end{array} \)

解題策略

如果我們可以算出 \(x_1\)，那麼原來的問題就解決了。所以這裡先說明，下面打算用什麼方法算出 \(x_1\)。

下面我們會先算出兩個主要的結果：

• \( x_1 + x_2 = -1 \)
• \( x_1 x_2 = -4 \)

然後將 \(x_1\)、 \(x_2\) 當做是方程式：

\( x^2 + x -4 = 0 \)

的兩根，這時就可以順利導出：

\( \left\{\begin{array}{c} x_1 = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\ x_2 = \frac{-1-\sqrt{17}}{2} \end{array} \right. \)

（註：由上面的圖可知 \(x_1\) 向右的向量較多，所以是正的；反之， \(x_2\) 是負的）

因此，我們就可以得到本問題的答案：

\( \begin{array}{rcl} \cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{8\pi}{17}\right)+\cos\left(\frac{16\pi}{17}\right) &=& \frac{x_1}{2} \\ &=& \frac{-1+\sqrt{17}}{4} \end{array} \)

---

進行計算

下面開始進行主要的計算：

因為：

\( 1+\omega + \omega^2 + \omega^3 + \cdots + \omega^{16} = 0 \)

所以：

\( \begin{array}{rcl} x_1 + x_2 &=& (c_1 + c_2 + c_4 + c_8) + (c_3 + c_5 + c_6 + c_7) \\ &=& \omega + \omega^2 + \omega^3 + \cdots + \omega^{16} \\ &=& -1 \end{array} \)

最後計算 \(x_1 x_2\)：

\( x_1 x_2 = (c_1 + c_2 + c_4 + c_8) (c_3 + c_5 + c_6 + c_7) \)

由於這一項比較複雜，所以在乘開之前，我們先開發一個簡便的公式：

\( \begin{array}{rcl} c_m c_n &=& (\omega^m + \omega^{-m}) (\omega^n + \omega^{-n}) \\ &=& (\omega^{m+n} + \omega^{-(m+n)}) + (\omega^{m-n} + \omega^{-(m-n)}) \\ &=& c_{m+n} + c_{m-n} \end{array} \)

有了這個公式後，要計算 \(x_1 x_2\) 就比較方便了，例如：

\(c_1 c_3 = c_4 + c_2\)

因此，我們可以利用下表將 \(x_1 x_2\) 乘開：

\(x_1 x_2\)	\(c_3\)	\(c_5\)	\(c_6\)	\(c_7\)
\(c_1\)	\(c_4 + c_2\)	\(c_6 + c_4\)	\(c_7 + c_5\)	\(c_8 + c_6\)
\(c_2\)	\(c_5 + c_1\)	\(c_7 + c_3\)	\(c_8 + c_4\)	*\(c_8 + c_5\)
\(c_4\)	\(c_7 + c_1\)	\(c_8 + c_1\)	\(c_7 + c_2\)	\(c_6 + c_3\)
\(c_8\)	\(c_6 + c_5\)	\(c_4 + c_3\)	\(c_3 + c_2\)	\(c_2 + c_1\)

⭐️ 註：

\(c_2 c_7 = c_9 + c_5\)

但：

\(c_9 = \omega^9+\omega^{-9}= \omega^{-8}+\omega^{8} = c_8 \)

（注意：表中還有其他地方也有類似的轉換）

上表最特別的地方是：乘開後 \(c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, c_6, c_7, c_8 \) 全部都剛好「出現四次」，也就是：

\(x_1 x_2 = 4(c_1 + c_2 + c_3 + \cdots + c_8) = 4(x_1 + x_2) = -4\)

因此，我們已經完成所有的計算。